Théorème des valeurs intermédiaires

V- THEOREME DES VALEURSINTERMEDIERE – TVI

1- Cas général :

Théorème T.V.I :Soit f une fonction continue sur [a, b] .Pour tout λ compris entre f(a) et f(b) il existe au moins un c ∈ [a, b] tel que f(c) = λ
Preuve : Rappelons que : f(I) = J ⟺ (∀x ∈ I)(f(x)∈ J) et (∀y ∈ J)(∃x ∈ I)(f(x) = y
Soit f une fonction continue sur un intervalle I

a et b deux éléments de I tels que : a < b. On sait que f([a, b]) = [m, M] où m = minxϵ[a ;b] f(x) et M = max_{xϵ[a ;b]} f(x)
On a donc f(a) ∈ [m, M] et f(b) ∈ [m, M].
Soit λ compris entre f(a) et f(b) on a donc : λ ∈ [m, M] et puisque f([a, b]) = [m, M] donc λ admet au moins un antécédent c dans l’intervalle[a, b].
D’où pour tout λ compris entre f(a) et f(b) il existe au moins un c ∈ [a, b] tel que f(c) = λ
2- Cas ƒ strictement monotone :

Théorème T.V.I (cas f strictement monotone) :
Soit f une fonction continue strictement monotone sur [a, b].
Pour tout λ compris entre f(a) et f(b) il existe un et un seul c ∈ [a, b] tel que f(c) = λ

Remarque : L’expression ” Pour tout λ compris entre f(a) et f(b) il existe un et un seul c ∈ [a, b] tel que f(c) = λ “peut-être formulée comme :” Pour tout λ compris entre f(a) et f(b) l’équation f(x) = λ admet une solution unique dans [a, b]

3- Corolaires

Corolaire 1 (T.V.I) : Soit f une fonction continue sur [a, b] .Si f(a) × f(b) < 0 il existe au moins un c ∈ [a, b] tel que f(c) = 0

Preuve : f(a) × f(b) < 0 veut dire que : f(a) et f(b) ont des signes opposés donc 0 est compris entre f(a) et f(b) On prend λ = 0 dans le théorème général des valeurs intermédiaire.

Corolaire 2 (T.V.I) :Soit f une fonction continue strictement monotone sur [a, b].
Si f(a) × f(b) < 0 il existe un et un seul c dans [a, b] tel que f(c) = 0

4- Applications :

Exemple 1 : Montrer que l’équation :
4x² – 3x – 1/2 = 0 admet une racine dans chacune des intervalles suivants : ]-1; – 1/2[ ; ]-1/2 ; 0[ et ]0;1[

Solution : on considère la fonction : g tel que g(x) = 4x³-3x-1/2

On a : g est est continue sur ℝ (car c’est une fonction polynôme) donc continue sur tout intervalle de ℝ
– Et on a : g(-1) = 3/2 et g(1/2) = 1/2
Donc : g(-1/2) x g(-1) <0 donc : d’après le (T.V.I) il existe a₁ ∈ ]-1 ; -1/2[ tel que : g(a₁) = 0
– Et on a : g(0) = – 1/2 et g(1/2) = 1/2 donc :
g(-1/2) × g(0) < 0 donc : d’après le (T.V.I) il existe a₂ ∈ ]-1/2;0[ tel que : g(a₂) = 0
– Et on a : g(0) = – 1/2 et g(1) = 1/2 donc
g(1) × g(0) < 0 donc :d’après le (T.V.I) il existe a 3ϵ]0 ;1[ tel que : g(a₃) = 0
donc l’équation : 4x³ – 3x – 1/2 = 0 admet 3 racines différentes dans chacune des intervalles:
]-1;-1/2[ ; ]-1/20[ ;]0;1[

Exemple 2 : Montrer que l’équation : x³ + x + 1 = 0 admet une racine unique dans ]-1 ;0[
Solution : on considère la fonction : f tel que f(x) = x³ + x + 1
⦁ On a : f est est continue sur ℝ (car c’est une fonction polynôme) donc continue sur ]-1 ;0[
⦁ On a : f(-1) = -1 et f(0) = 1 donc :f(1) × f(-1) < 0 ⦁ f’(x) = 3 x 2 + 1 > 0 sur ]-1 ;0[ donc f strictement croissante sur ]-1 ;0[
Donc : d’après le (T.V.I) l’équation f(x) = 0 admet une solution unique dans ]-1 ;0[