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La méthode de la Dichotomie

  • IV- Méthode de dichotomie

    La méthode de dichotomie est une méthode pour trouver une solution approchée à une équation f(x) = 0. Précisément, supposons que la fonction f est continue sur l’intervalle [a, b], avec f(a) ≤ 0 et f(b) ≥ 0. On sait donc qu’il existe au moins un réel c dans l’intervalle [a, b] tel que f(c) = 0.

    L’idée est alors d’évaluer ce que vaut f au milieu de [a, b], et de distinguer les deux cas suivants :

    * Si f(a + b/2) ≤ 0, alors on sait qu’on a une racine dans l’intervalle [a + b/2 , b].
    * Sinon, f(a + b/2) > 0 et on sait qu’on a une racine dans l’intervalle [a, a + b/2].
    Ainsi, dans les deux cas, on a trouvé un intervalle de longueur moitié dans lequel est située une racine de l’équation f(x) = 0. On recommence alors avec cet intervalle, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on trouve une approximation qui nous convienne.

    Formellement, on définit les suites (an) et (bn) en posant

    * a0 = a et b0 = b.
    * Si f(an + bn/2) ≤ 0, alors an + 1 = an + bn/2 et bn + 1 = bn
    On a toujours une solution à l’équation f(x) = 0 dans l’intervalle [an, bn], qui est de longueur (bn − an)/2n.
    * Sinon, an + 1 = an et bn + 1 = an + bn/2.
    Il existe des méthodes plus efficaces que la dichotomie pour rechercher pratiquement les solutions d’une équation f(x) = 0. La plus connue est sans doute la méthode de Newton.

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