VIII- FONCTIONS COMPOSEES ET FONCTIONS RECIPROQUES
1- Le théorème :
Activité : Soit f(x) = Activité : Soit f(x) = 11 + x2
1- Montrer que pour tout y dans I = [0, +∞ [, l’équation f(y) = x admet une solution unique dans l’intervalle J = ]0,1]
2-Etudier la monotonie et la continuité de f sur ℝ
On dit que la fonction f admet une fonction réciproque de J =]0, 1] vers I = [0, +∞[
Théorème : Soit f une fonction définie continue et strictement monotone sur un intervalle I, On a f admet une fonction réciproque f-1 définie de J = f(I) vers I.
Preuve : Puisque f est continue et strictement monotone alors l’image de l’intervalle I est l’intervalle J = f(I)
Donc f est surjective par construction car : (∀x ∈ J = f(I))(∃y ∈ I)(f(y) = x)
Montrons que f est injective de I vers f(I)
On suppose pour la démonstration que f est strictement croissante (même démonstration si f est strictement décroissante)
Soient y1 et y2 deux éléments distincts de I (On suppose que y1> y2)
On a donc (puisque f est strictement croissante) f(y1) > f(y2) donc f(y1) ≠ f(y2) et finalement f est injectivedonc f est une bijection de I vers f(I)
D’où f admet une fonction réciproque f-1 de J = f(I) vers I et on a :
{f(y) = xy ∈ I ⇔ {y=f-1 (x)x ∈ f(I)
(f ◦ f-1)(x) = x ∀x ϵ f(I)
(f-1◦f)(y) = y ∀y ϵ f(I)
2- Application :
Exemple 1 : Soit f la fonction définie par : f(x) = x – 3x + 2
1) Montrer que la fonction g la restriction de f sur intervalle I = ]-2;+∞[ admet une fonction réciproque g-1 définie sur un J qu’il faut déterminer.
2) Déterminer g-1(x) pour tout x de l’intervalle J
Solution :
1) f(x)=span class=”fraction”>x – 3x + 2 Df = {x ϵ ℝ / x + 2 ≠ 0}
Df = ℝ – {-2}
f'(x) = (x – 3x + 2) = (x-3)'(x+2)-(x-3)(x+2)’(x + 2)2 = 1(x+2)-1×(x-3)(x+2)2
f'(x)=5x+2)2 > 0
Puisque g est strictement croissante et continue sur : I = ]-2 ; +∞[
donc g admet une fonction réciproque g-1 définie sur J = g(I) = g(]-2 ;+∞[) = ]-∞ ;1[
2) {g(y)=xy ϵ I ⇔ {y=g-1(x)x ϵ g(I)
{g(y)=xy ϵ ]-2;+∞[ ⟺ y – 3y + 2 = x ⇔ y-3=x(y+2)
⟺ y – xy = 2x + 3 ⇔ y(1-x) = 2x + 3
⟺ y = 2x + 31 – x
Donc :
𝑔−1(𝑥) = 2x + 31 – x
Donc :
g-1 : ]-∞ ;1[ → ]-2;+∞[
x→g-1(x) = 2x + 31 – x
3- Propriété de la fonction réciproque :
Propriété 1 : Si f admet une fonction réciproque f-1 de J = f(I) vers I alors f-1 à la même monotonie sur J que celle de f sur I.
Preuve :
Tf-1 = f-1 (x-1 )-f1 (x2)x1 – x2 = y1 – y2f(x1) – f(x2)
Tf-1 = 1f(x1) – f(x2)y1 – y2
Donc le taux de f-1 sur J à le même signe que le taux de f sur I
Et on conclut.
Propriété 2 : Si f admet une fonction réciproque f-1 de J = f(I) vers I alors (Cf-1) et (Cf) sont symétriques par rapport à : (Δ)y = x
Remarque :
La symétrie des deux courbes concerne toutes leurs composantes ; les asymptotes ; les tangentes et demi-tangentes…
4- La fonction racine n – éme
4-1- Définition et règles de calculs
Propriété et définition :
Soit n un élément de ℕ* ; la fonction :
f : x → xn est une fonction continue strictement croissante sur ℝ+ elle admet donc une fonction réciproque f-1 de f(ℝ+) = ℝ+ vers ℝ+
La fonction réciproque f-1 s’appelle la fonction racine n − éme et se note n√x
1) La fonction n√x est définie sur ℝ+
2) ∀x ϵ ℝ+ n√x ≥ 0
3) (∀x ϵR+)(∀y ϵR+) n√x = y ⇔ x = yn
4) La fonction n√x est continue sur ℝ+ strictement croissante
5) (∀x ϵ R+)(∀y ϵ R+) n√x = n√y ⇔ x = y
6) (∀x ϵ R+)(∀a ϵ R+) n√x ≥ a ⇔ x ≥ an
7) (∀a ϵ R+) n√x ≤ a ⇔ 0 ≤ x ≤ an
8) (∀x ϵ R+) (n√x)n = n√xn = x
9) (∀x ϵ R+)(∀p ∈ N) (n√x)p=n√xp
10) limx→+∞n√x = +∞
11) Si limx→x0 u(x) = +∞ alors limx→x0 n√u(x) = +∞
12) Si limx→x0 u(x) = l et l ≥ 0 alors limx→x0 n√u(x))=n√l
13) La courbe de la fonction n√
Règle de calcul :
1) (∀x ϵ R+)(∀y ϵ R+) n√x . y = n√x × n√y
2) (∀x ϵ R+)(∀y ϵ R*+) n√xy=n√xn√y
3) (∀x ϵ R+)(∀n ϵ N*)(∀p ϵ N*) n√p√x=n x p√x
4) (∀x ϵ R+)(∀n ϵ N*)(∀p ϵ N*) n√x = np√xp(à prouver)
Remarque :
1) (∀x ϵ R+)2√x= √x
2) (∀x ϵ R+) 1√x = x
4-2- Résolution de l’équation xn = a
Exemples : Résoudre dans ℝ les équations suivantes :
1)x5 = 35
2)x7 = -128
3)x4 = 3
4)x6 = -8
Solutions :
1) x5 = 32 donc : x > 0
x=5√32 ⇔ x = 5√25 ⇔ x = 2
donc : S = {2}
2) x7 = -128 donc x < 0
Donc : x = –7√128 ⇔ x = –7√27 ⇔ x=-2
Donc : S = {-2}
3) x4 = 3 ⇔ x = 4√3 ou x = – 4√3
Donc : s = {–4√3;4√3}
4) x6 = -8
On a : x6 ≥ 0 et -8 < 0 donc : S = ɸ
4-3- L’expression conjugué et ses applications :
On sait que : a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) et a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) il en résulte :
a – b = a3 + b3a2 – ab + b2 et a + b = a3 – b3a2 + ab + b2
Par suite : (∀x ∈ R+)(∀y ∈ R∗+) 3√x – 3√y = x – y(3√x)2+√x3 3√x+(3√x)2
(∀x ∈ R+)(∀y ∈ R∗+) 3√x – 3√y = x – y(3√x)2+√x3 3√x+(3√x)2
5- Puissance rationnelle :
5-1- Puissance entier :
Rappelle : Soit x un réel et n un entier naturel non nul on a : xn = x × x × … × x et (x ≠ 0)
1xn = x-n
5-2- Puissance entier :
Propriété : Pour tout réel x ≥ 0 et pour tout entier non nul q on pose q√x:
Définition :
Soit x un réel positif et r un rationnel (r ∈ℚ) ;r = class=”fraction”>pq où p ϵℤet q ϵℕ*on pose :
xr = xp/q = (q√x)p
Exemple : 23/4=4√23=4√8
2-2/7 = 7√2-2 = 7√122 = 7√14
Propriétés :Soit x et y deux réels positifs, r et r′ des rationnels on a :
6- la fonction Arctangente :
Propriété et définition : La restriction de la fonction tan sur ]-π2 ; π2[ vers ℝ
Sa bijection réciproque s’appelle la fonction arc tangente, notée : artan elle est définie de ℝ vers ]-π2 ; π2[
La courbe de la fonction arctan :
Résultats :
2) limx→+∞ar tan x = π2 et limx→-∞ar tan x = -π2
3) (∀x ∈ R)(tan(arctan x) = x) et ∀x ∈ ]-π2 ; π2[ arctan (tan x) = x
4)La fonction artan est continue et impaire strictement croissante sur ℝ
5)artan x = artan y ⇔ x = y∀(x ; y) ϵ ℝ2
artan x < artan y ⇔ x < y∀<(x ; y) ϵ ℝ2
6) limx→0 ar tan x x = 1
7) (∀x ∈ R+) (arctan x + arctan (1x) = π2) et (∀x ∈ R–) (arctan x + arctan (1/x) =−-π2)
(Propriété à démontrer).