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Fonction réciproque

  • VIII- FONCTIONS COMPOSEES ET FONCTIONS RECIPROQUES

    1- Le théorème :

    Activité : Soit f(x) = Activité : Soit f(x) = 1/1 + x2

    1- Montrer que pour tout y dans I = [0, +∞ [, l’équation f(y) = x admet une solution unique dans l’intervalle J = ]0,1]
    2-Etudier la monotonie et la continuité de f sur ℝ
    On dit que la fonction f admet une fonction réciproque de J =]0, 1] vers I = [0, +∞[
    Théorème : Soit f une fonction définie continue et strictement monotone sur un intervalle I, On a f admet une fonction réciproque f-1 définie de J = f(I) vers I.
    Preuve : Puisque f est continue et strictement monotone alors l’image de l’intervalle I est l’intervalle J = f(I)
    Donc f est surjective par construction car : (∀x ∈ J = f(I))(∃y ∈ I)(f(y) = x)
    Montrons que f est injective de I vers f(I)
    On suppose pour la démonstration que f est strictement croissante (même démonstration si f est strictement décroissante)
    Soient y1 et y2 deux éléments distincts de I (On suppose que y1> y2)
    On a donc (puisque f est strictement croissante) f(y1) > f(y2) donc f(y1) ≠ f(y2) et finalement f est injectivedonc f est une bijection de I vers f(I)
    D’où f admet une fonction réciproque f-1 de J = f(I) vers I et on a :

    {f(y) = xy ∈ I{y=f-1 (x)x ∈ f(I)

    (f ◦ f-1)(x) = x   ∀x ϵ f(I)
    (f-1◦f)(y) = y   ∀y ϵ f(I)

    2- Application :

    Exemple 1 : Soit f la fonction définie par : f(x) = x – 3/x + 2
    1) Montrer que la fonction g la restriction de f sur intervalle I = ]-2;+∞[ admet une fonction réciproque g-1 définie sur un J qu’il faut déterminer.
    2) Déterminer g-1(x) pour tout x de l’intervalle J
    Solution :
    1) f(x)=span class=”fraction”>x – 3/x + 2 Df = {x ϵ ℝ / x + 2 ≠ 0}
    Df = ℝ – {-2}
    f'(x) = (x – 3/x + 2) = (x-3)'(x+2)-(x-3)(x+2)’/(x + 2)2 = 1(x+2)-1×(x-3)/(x+2)2
    f'(x)=5/x+2)2 > 0

    Puisque g est strictement croissante et continue sur : I = ]-2 ; +∞[
    donc g admet une fonction réciproque g-1 définie sur J = g(I) = g(]-2 ;+∞[) = ]-∞ ;1[
    2) {g(y)=xy ϵ I {y=g-1(x)x ϵ g(I)

    {g(y)=xy ϵ ]-2;+∞[y – 3/y + 2 = x ⇔ y-3=x(y+2)
    ⟺ y – xy = 2x + 3 ⇔ y(1-x) = 2x + 3
    ⟺ y = 2x + 3/1 – x
    Donc :
    𝑔−1(𝑥) = 2x + 3/1 – x
    Donc :
    g-1 : ]-∞ ;1[ → ]-2;+∞[
    x→g-1(x) = 2x + 3/1 – x

    3- Propriété de la fonction réciproque :

    Propriété 1 : Si f admet une fonction réciproque f-1 de J = f(I) vers I alors f-1 à la même monotonie sur J que celle de f sur I.
    Preuve :
    Tf-1 = f-1 (x-1 )-f1 (x2)/x1 – x2 = y1 – y2/f(x1) – f(x2)

    Tf-1 = 1/f(x1) – f(x2)/y1 – y2

    Donc le taux de f-1 sur J à le même signe que le taux de f sur I
    Et on conclut.
    Propriété 2 : Si f admet une fonction réciproque f-1 de J = f(I) vers I alors (Cf-1) et (Cf) sont symétriques par rapport à : (Δ)y = x
    Remarque :
    La symétrie des deux courbes concerne toutes leurs composantes ; les asymptotes ; les tangentes et demi-tangentes…

    4- La fonction racine n – éme

    4-1- Définition et règles de calculs

    Propriété et définition :
    Soit n un élément de ℕ* ; la fonction :
    f : x → xn est une fonction continue strictement croissante sur ℝ+ elle admet donc une fonction réciproque f-1 de f(ℝ+) = ℝ+ vers ℝ+
    La fonction réciproque f-1 s’appelle la fonction racine n − éme et se note nx
    1) La fonction nx est définie sur ℝ+
    2) ∀x ϵ ℝ+ nx ≥ 0
    3) (∀x ϵR+)(∀y ϵR+) nx = y ⇔ x = yn
    4) La fonction nx est continue sur ℝ+ strictement croissante
    5) (∀x ϵ R+)(∀y ϵ R+) nx = ny ⇔ x = y
    6) (∀x ϵ R+)(∀a ϵ R+) nx ≥ a ⇔ x ≥ an
    7) (∀a ϵ R+) nx ≤ a ⇔ 0 ≤ x ≤ an
    8) (∀x ϵ R+) (nx)n = nxn = x
    9) (∀x ϵ R+)(∀p ∈ N) (nx)p=nxp
    10) limx→+∞nx = +∞
    11) Si limx→x0 ⁡u(x) = +∞ alors limx→x0 nu(x) = +∞
    12) Si limx→x0⁡ u(x) = l et l ≥ 0 alors limx→x0nu(x))=nl
    13) La courbe de la fonction n 

    Règle de calcul :
    1) (∀x ϵ R+)(∀y ϵ R+) nx . y = nx × ny
    2) (∀x ϵ R+)(∀y ϵ R*+) nx/y=nx/ny
    3) (∀x ϵ R+)(∀n ϵ N*)(∀p ϵ N*) npx=n x px
    4) (∀x ϵ R+)(∀n ϵ N*)(∀p ϵ N*) nx = npxp(à prouver)
    Remarque :
    1) (∀x ϵ R+)2x=  x
    2) (∀x ϵ R+) 1x = x

    4-2- Résolution de l’équation xn = a

    Exemples : Résoudre dans ℝ les équations suivantes :
    1)x5 = 35
    2)x7 = -128
    3)x4 = 3
    4)x6 = -8

    Solutions :
    1) x5 = 32 donc : x > 0
    x=532 ⇔ x = 525 ⇔ x = 2
    donc : S = {2}
    2) x7 = -128 donc x < 0
    Donc : x = –7128 ⇔ x = –727 ⇔ x=-2
    Donc : S = {-2}
    3) x4 = 3 ⇔ x = 43 ou x = – 43
    Donc : s = {43;43}
    4) x6 = -8
    On a : x6 ≥ 0 et -8 < 0 donc : S = ɸ

    4-3- L’expression conjugué et ses applications :
    On sait que : a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) et a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) il en résulte :
    a – b = a3 + b3/a2 – ab + b2 et a + b = a3 – b3/a2 + ab + b2
    Par suite : (∀x ∈ R+)(∀y ∈ R∗+) 3x3y = x – y/(3x)2+x3 3x+(3x)2
    (∀x ∈ R+)(∀y ∈ R∗+) 3x3y = x – y/(3x)2+x3 3x+(3x)2

    5- Puissance rationnelle :

    5-1- Puissance entier :

    Rappelle : Soit x un réel et n un entier naturel non nul on a : xn = x × x × … × x et (x ≠ 0)
    1/xn = x-n

    5-2- Puissance entier :
    Propriété : Pour tout réel x ≥ 0 et pour tout entier non nul q on pose qx:

    Définition :
    Soit x un réel positif et r un rationnel (r ∈ℚ) ;r = class=”fraction”>p/q où p ϵℤet q ϵℕ*on pose :
    xr = xp/q = (qx)p
    Exemple : 23/4=423=48

    2-2/7 = 72-2 = 71/22 = 71/4
    Propriétés :Soit x et y deux réels positifs, r et r′ des rationnels on a :

    6- la fonction Arctangente :
    Propriété et définition : La restriction de la fonction tan sur ]/2 ; π/2[ vers ℝ

    Sa bijection réciproque s’appelle la fonction arc tangente, notée : artan elle est définie de ℝ vers ]/2 ; π/2[

    La courbe de la fonction arctan :

    Résultats :

    1) {ar tan x = yx ϵ R{x= tan⁡ yy ϵ ]/2 ; π/2[

    2) limx→+∞ar tan⁡ x = π/2 et limx→-∞ar tan⁡ x = /2
    3) (∀x ∈ R)(tan(arctan x) = x) et ∀x ∈ ]/2 ; π/2[ arctan (tan x) = x
    4)La fonction artan est continue et impaire strictement croissante sur ℝ
    5)artan x = artan y ⇔ x = y∀(x ; y) ϵ ℝ2
    artan x < artan y ⇔ x < y∀<(x ; y) ϵ ℝ2
    6) limx→0 ar tan x /x = 1
    7) (∀x ∈ R+) (arctan x + arctan (1/x) = π/2) et (∀x ∈ R) (arctan x + arctan (1/x) =−/2)
    (Propriété à démontrer).

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