Continuité en un point

I- CONTINUITE D’UNE FONCTION NUMERIQUE EN UN POINT :

1- Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalle de centre a. On dit que la fonction f est continue en a si elle admet une limite finie en a et limx→aƒ(x) = ƒ(a) C’est-à-dire :

(∀ε > 0) (∃a > 0) (∀x ∈ Dƒ) (0 ≤ |x – a| < a ⇒ |ƒ(x) – ƒ(a)| < ε

Exemple1 : Considérons la fonction ƒ définie par :
ƒ(x) = sin(x – 2)/x² – 2 ; si x ≠ 0 et x ≠ 2 et ƒ(2)=1⁄2
Etudier la continuité de ƒ en x₀ = 2
Solution : limx→2ƒ(x) = limx→2 1/2 sin(x – 2)/x – 2 = 1/2 = ƒ(2)
Alors :
limx→2ƒ(x) = ƒ(2) Donc : ƒ est continue en x₀ = 2
Exemple2 : Considérons la fonction ƒ définie par :
ƒ(x) = 2 + x²sin(1/x); si x ≠ 0 et ƒ(0) = 2
Etudier la continuité de ƒ en x₀ = 0
Solution : x ∈ R* |sin(1/x)| ≤ 1
donc :
|ƒ(x) – 2| = x² |sin(1/x)| ≤ x² et on a limx→0 x² = 0
Alors :
limx→0 ƒ(x) = 2 = ƒ(0)
Donc :
ƒ est continue en x₀ = 0

2- continuité à droite et à gauche :

Exemple : Soit ƒ définie sur R par :

{ƒ(x) = x²; si … x ≤ 0ƒ(1) = 2 + x;si … x > 0

limx→0^–ƒ(x) = limx→0⁺ x² = 0 = ƒ(0)
On dit que ƒ est continue à gauche de x₀ = 0
limx→0⁺ƒ(x) = limx→0⁺ 2 + x = 2 ≠ ƒ(0)
On dit que f n’est pas continue à droite de 0
Et on a :
limx→0⁺ ƒ(x) ≠ limx→0^– ƒ(x)
Donc, la limite en 0 n’existe pas.
Conséquence : ƒ ne peut être continue en 2

Graphiquement : La courbe de f ne peut être tracée sur un intervalle comprenant 0,« sans lever le crayon ».
Définition :
1) Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [a, a + r [ où r > 0
On dit que la fonction f est continue à droite de a si elle admet une limite finie à droite en a et
limx→a⁺ ƒ(x) = ƒ(a)
2) Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a – r ; a] où r > 0
On dit que la fonctionfest continue à gauche de a si elle admet une limite finie à gauche en a et limx→a^– ƒ(x) = ƒ(a)
Exemple : Soit ƒ définie par :

{ƒ(x) = x²; si… x ≤ 0ƒ(x) = x² – 3/2x – 1 ; si… x > 0
Etudier la est continuité de ƒ à droite et à gauche de x₀ = 0
Solution :
limx→0^– ƒ(x) = limx→0^– 3 – x² = 3 = ƒ(0)
Donc ƒ est continue à gauche de x₀ = 0

3- Prolongement par continuité

Théorème et définition : Soit ƒ une fonction dont l’ensemble de définition est D_ƒ ; a un réel tel que a ∉ D_ƒ et limx→a ƒ(x) = l (finie)
La fonction ƒ définie par :
{ƒ(x) = ƒ(x) si … x ≠ aƒ(a) = l
Est une fonction continue en a et s’appelle un prolongement par continuité de la fonction ƒ en a
Exemple : Soit ƒ une fonction définie par ƒ(x)=1 – cos(x)/x Donner un prolongement par continuité de la fonction ƒ en x₀ = 0
Solution :
limx→0 ƒ(x) = limx→01 – cos(x)/x = limx→0 1 – cos(x)/x² . x = 0
Car :
limx→0 1 – cos(x)/x² = 1/2
Donc La fonction ƒ définie par :
{ƒ(x) = ƒ(x) si … x ≠ aƒ(0) = 0
Est un prolongement par continuité de la fonction f en x₀ = 0