Exercice 4 – Première partie

  • Exercice 4 :

    Première partie : On considère la fonction f définie sur I = [O; +∞[ par :

    f (0) = 0 et (∀x ∈ ]0; +∞[) ; f (x) = x3 ln (1 + 1/x)

    et soit (C) courbe représentative dans un repère orthonomté (O; i   , j  ) (On prendra ||i || = ||j || = 1cm)

    1- On acappliquant le théorème des accroissements finis à la fonction t ⟼ ln(t) sur l’intervalle [x, x + 1], montrer que :

    (P) : (∀x ∈ ]0; +∞[)    ;    1/x + 1 < ln (1 + 1/x) < 1/x

    2- a- En utilisant la proposition (P), montrer que la fonction f est dérivable à droite en 0.
    b- En utilisant la proposition (P), montrer que la courbe (C) admet une branche parabolique dont on précisera la direction.

    3- a- Montrer que la fonction f est dérivable sur ]0; +∞[ et que :

    (∀x ∈ ]0; +∞[)    ;     f ‘(x) = 3x3(ln (1 + 1/x) – 1/3(1 + x)

    b- En déduire que la fonction f strictement croissante sur I (On pourra utiliser la proposition (P)).
    c- Dresser le tableau de variations de f .

    4- Pour tout x ∈ ]0; +∞[. on post g(x) = f (x)/x
    a- vérifier que : (∀x ∈ ]0; +∞[)    ;     g ‘(x) = 2x(ln (1 + 1/x) – 1/2(1 + x),en déduire que la fonction g est strictement croissante ℝ+*.
    b- Montrer que l’équation g(x) = 1 admet sur ℝ+* une solution unique notée a puis vérifier que 𝛼 ∈ ]1; 2[ (On prendra ln 12 = 0.7 et ln 3/2 = 1.5).
    c- En déduire que les seules solutions de l’équation f (x) = x sont 0 et ce 𝛼.

    5- a- Représenter graphiquement la courbé (C) (On précisera la demi-tangente à droite en O et la branche parabolique (C)).
    b- Montrer que f et une bijection de I vers I (On note f -1 sa bijection réciproque).

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