Exercice 4

Problème :

On considère la fonction numérique f définie sur ℝ par f (x) = -x + 2/5 – 1/2e^{x – 2}(e^{x – 2} – 4)
et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; i→   , j→  ) (unité : 2cm)

1- Montrer que lim x →-∞ f (x) = +∞ et lim x →+∞ f (x) = -∞

2- a- Démontrer que la droite (Δ) d’équation y = -x + 5/2 est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de -∞
b- Résoudre l’équation e^{x – 2} – 4 = 0 puis montrer que la courbe (C) est au dessus de (Δ) sur l’intervalle ]-∞, 2 + ln 4[ et en dessous de (Δ) sur l’intervalle [2 + ln 4 , +∞[.

3- Montrer que lim x →+∞ f (x)/x = -∞ puis interpréter géométriquement le résultat

4- a- Montrer que pour tout x de ℝ f‘ (x) = -(e^{x – 2} – 1)²).
b- Dresser le tableau de variations de la fonction f .

5- Calculer f” (x) pour tout x de ℝ puis montrer que A(2, 2) est un point d’inflexion de (C)

6- Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique 𝛼 telle que 2 + ln 3 < 𝛼 < 2 + ln 4

7- Construire (Δ) et (C) dans le repère (O; i→   , j→  ) ci-dessous (on prend ln 2 = 0, 7 et ln 3 = 1,1)

8- a- Montrer que la fonction f admet une fonction réciproque f ^-1 définie sur ℝ
b- Construire dans le même repère (O; i→   , j→  ) la courbe représentative de la fonction f ^-1 (remarquer que la droite (Δ) est perpendiculaire à la première bissectrice du repère).
c- Calculer (f ^-1)’ (2 – ln 3) (Remarquer que f ^-1 (2 – ln 3) = 2 + ln 3)