Exercice 2

  • Exercice 2 :

    (Si tu choisis de traiter Exercice 2, il ne faut pas traiter Exercice 1)

    On note par M2(ℝ) l’ensemble des matrices carrées d’ordre deux.

    On rappelle que (M2(ℝ), +, ×) est un anneau non commutatif unitaire d’unité I = ( 1     00     1) et que (ℝ*, ×) est un groupe commutatif.
    On considère le sous-ensemble E de M2(ℝ) défini par E = {( 1     x0     y) / x ∈ ℝ et y ∈ ℝ*}
    1- a- Montrer que E est une partie stable de (M2(ℝ), ×).
    b- Montrer que la multiplication n’est pas commutative dans E.
    c- Vérifier que :

    (∀x ∈ ℝ)(∀y ∈ ℝ*) ; ( 1     x0     y) × ( 1     –x/y0     –1/y) = ( 1     –x/y0     –1/y) × ( 1     x0     y) = ( 1     00     1)

    2- Montrer que (E, ×) est un groupe non commutatif.

    3- On considère le sous-ensemble F de E défini par : F = {M(x) = ( 1     x – 10       x) / x ∈ ℝ*}.

    a- Montrer que l’application 𝜑 définie par : (∀x ∈ ℝ*) ; 𝜑(x) = M(x) est un homomorphisme de (ℝ*, ×) vers (E, ×).
    b- En déduire que (F, x) . un groupe commutatif dont on précisera l’élément neutre.

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