Image d’un intervalle

VI- Image d’un intervalle :

1- Théorème général :

Théorème (admis) :L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Exemples : f(x) = x² + 2x
Graphiquement en a : (le graphe ci-contre)
f([-1,2]) = [-1,3]    et    f([0,2[) = [-1,0]
f(]-1,0]) = [0,3[     et     f([2, +∞[ ) = [0, +∞[
f(]-∞, 1]) = [-1, +∞[

Remarque :
L’intervalle I et son image f(I) par une fonction continue n’ont pas nécessairement la même forme.

2- Cas d’une fonction strictement monotone :

1)f continue et strictement croissante sur L’intervalle I et a ϵ I et b ϵ I
f ([a;b]) = [ f(a) ; f(b)] etf ([a ;b[) = [f(a) ; limx→b^– ƒ(x)[
f (]a;b]) = ] limx→a⁺ ƒ(x); ƒ(b)] et ƒ (]a;b[) = ] limx→a⁺ ƒ(x);limx→b^– ƒ(x)[
f ([a;b]) = [ f(b) ; f(a)] etf ([a ;b[) = ]limx→b^– ƒ(x);ƒ(a)]
f (]a;b]) = [f(b) ; limx→a⁺ ƒ(x) et et f(]a;b[) = limx→b^– ƒ(x); limx→a⁺ ƒ(x)[
Remarque :Si f n’est pas strictement monotone sur l’intervalle I, on peut utiliser les propriétés précédentes en subdivisant
L’intervalle I en intervalles où f est strictement monotone et on utilise la propriété :
ƒ(I₁⋃ I₂) = ƒ(I₁) ⋃ƒ(I₂)
Exemple : Soit f une fonction définie par ƒ(x) = 2x – 3/x + 1
Déterminer les images des intervalles suivants :[0,1] ; [−2,-1[; ]− 1, 1] ; [2, +∞[

Solution :D_f = ]-∞;-1[⋃]–1;+∞[
|21 -31|  = 2 + 3 = 5 > 0 donc : f continue et strictement croissante sur les intervalles ]-∞ ; -1[ et ]-1; +∞[
donc on a : f([0;1] )=[f(0);f(1)] = |-3; -1/2|
f([-2 ; -1[) = [f(-2) ; limx→1^-1 ƒ(x)[ = [7 ; +∞[
f([-1;1]) = ]limx→1⁺ ƒ(x); ƒ(1)] = ]-∞ ; -1/2]
f([2;+∞] ) = [f(2);limx→+∞ ƒ(x) [ = [1/3 ; 2][