Physique – Exercice 3

Exercice 3 :

Les deux parties I et II sont indépendantes

Partie I :Etude du mouvement d’un corps solide dans l’air et dans un liquide
On trouve dans les piscines des plongeoirs à partir desquels chutent les baigneurs pour plonger dans l’eau. Dans cette partie de l’exercice, on étudiera le mouvement d’un baigneur dans l’air et dans l’eau. On modélise le baigneur par un corps solide (S) de masse in et de centre d’inertie G .
On étudie le mouvement du centre G dans un repère R(O, k→) lié à un référentiel terrestre supposé galiléen(figurel).
Données : m=80kg ; intensité de la pesanteur : g =10m.s^-2 . On prend √2=1,4 .

1- Etude du mouvement du centre G dans l’air

A l’instant de date t₀ , pris comme origine des dates (t₀ = 0) , le baigneur se laisse chuter sans vitesse initiale

d’un plongeoir. On considère qu’il est en chute libre durant son mouvement dans l’air. A la date t₀ le centre d’inertie G

coïncide avec l’origine O du repère R(0,

k→) (z_G =0) et est situé à une hauteur h =10m au dessus de la surface de l’eau(figure 1).
1-1- Etablir l’équation différentielle régissant la vitesse v_z du centre d’inertie G .
1-2- Déterminer le temps de chute t_e de G dans l’air puis en déduire sa vitesse v_e d’entrée dans l’eau.

2- Etude du mouvement vertical du centre d’inertie G dans l’eau .

Figure 1
Le baigneur arrive avec la vitesse V_e→ , de direction verticale, à l’entrée dans l’eau. Lorsqu’il est dans l’eau, il suit une trajectoire verticale où il est soumis à l’action de:
– son poidsP→ ,
-la force de frottement fluide : f→ = —𝜆.v→ où 𝜆 est le coefficient de frottement fluide(𝜆= 250kg.s^-1 )
et v→ le vecteur vitesse de G à un instant t ,
-la poussée d’Archimède : F→ = —m/d .g→ où g est l’intensité de la pesanteur et d= 0,9 la densité du baigneur.
On considère l’instant d’entrée de (S) dans l’eau comme nouvelle origine des dates( t = 0 ).
2-1- Etablir l’équation différentielle vérifiée par la vitesse v_z de G . On posera =m/𝜆
.
2-2- Déduire l’expression de la vitesse limite v_lz en fonction de T, g , et d . Calculer sa valeur.
2-3- La solution de l’équation différentielle est v_z (t)=A+ Be^–t/t , où A et B sont des constantes .
Exprimer A en fonction de v_lz et B en fonction de v_lz et v_e .
2-4- Déterminer l’instant tr auquel le mouvement du baigneur change de sens.(Le baigneur n’atteint pas le fond de la piscine ).