Exercice 2

Exercice 2 :

1- Dans l’ensemble ℂ des nombres complexes, on considère l’équation :
(E) : z² – 2(√2 + √6)z + 16 = 0

a- Vérifier que le discriminant de l’équation (E) est Δ = -4 (√6 – √2)²
b- En déduire les solutions de l’équation (E).

2- Soient les nombres complexes a = (√6 + √2) + i(√6 – √2) , b = 1 + i√3 et c = √2 + i√2

a- Vérifier que b―c = a , puis en déduire que ac = 4b
b- Ecrire les nombres complexes b et c sous forme trigonométrique.
c- En déduire que a = 4(cos𝜋/12 + i sin𝜋/12)

3- Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O; u→   , v→  ), on considère les points B, C et D d’affixes respectives b, c et d telle que d = a⁴. Soit z l’affixe d’un point M du plan et z’ l’affixe de M’ image de M par la rotation R de centre O et d’angle 𝜋/12

a- Vérifier que z’ = 1/4az.
b- Déterminer l’image du point C par la rotation R.
c- Déterminer la nature du triangle OBC.
d- Montrer que a⁴ = 128b et en déduire que les points O, B et D sont alignés.