Exercice 1

Exercice 1 :

Soit (u_n) la suite numérique définie par : u₀ = 3/2 et u_{n + 1} = 2u_n/2u_n + 5 pour tout n de ℕ

1- Calculer u₁

2- Montrer par récurrence que pour tout n de ℕ, u_n > 0

3- a- Montrer que pour tout n de ℕ, 0 < u_{n + 1} ≤ 2/5u_n

puis en déduire que pour tout n de ℕ, 0 < u_n ≤ 3/2(2/5)ⁿ

b- Calculer lim u_n

4- On considère la suite numérique (v_n) définie par v_n = 4u_n/2u_n + 3 pour tout n de ℕ.

a- Montrer que (v_n) est une suite géométrique de raison 2/5.
b- Déterminer v_n en fonction de n et en déduire u_n en fonction de n pour tout n de ℕ.